Matematica

giove(R), 23/03/2010 15.14:

---

un pazzo scatenato... cazzarola...

mi spieghi sto quesito della ciambella nello spazio tridimensionale (ma siamo pazzi davvero qua? ) nel modo più semplcie possibile, tenendo conto che parli con me: che operazioni a mente le faccio velocemente, ma che ho preso (sbagliando) giurisprudenza, per il solo e unico motivo che era la facoltà più lontana dalla matematica della quale mi sari liberato per sempre (ma non avevo fatto i conti con Economia politica e con Scienza delle finanze..).

tanto per farti capire il tipo?

---

Il giornalista ha sintetizzato un pò troppo nel dire "la soluzione della congettura di Poincaré, e cioè sul perché in uno spazio tridimensionale una forma a ciambella si spezza durante la trasformazione in sfera. "

in realtà in Geometria algebrica la Ciambella si chiama Toro, e la trasformazione della ciambella a livello Topologico in sfera crea la suddivisione e la scissione in due semisfere.
Una formulazione della congettura di Poincaré a n dimensioni è la seguente:

Ogni varietà chiusa n dimensionale omotopicamente equivalente alla n-sfera è omeomorfa alla n-sfera.

Questa definizione è equivalente alla congettura di Poincaré nel caso n=3.

Le difficoltà maggiori sorgono per le dimensioni n = 3 e n = 4. Il caso con n=1 è banale, e il caso con n=2 è stato dimostrato con facilità.
in particolare:
Poincaré diceva che considerando "La ciambella e la mela".
La mela è “semplicemente connessa”, mentre la ciambella non lo è.

La congettura è un problema che riguarda la topologia, nota come la matematica del “foglio di gomma” perché studia tutte le possibili deformazioni di una figura disegnata su un foglio di gomma. Più precisamente studia le proprietà che rimangono immutate quando si deforma una figura sottoponendola a torsione, stiramento o compressione: in topologia è irrilevante che una figura sia quadrata o rotonda, grande o piccola, poiché possiamo modificare le sue caratteristiche, ad esempio, con lo stiramento. I topologi si chiedono invece se una forma sia connessa, se abbia buchi, se sia aggrovigliata e questo non solo nel nostro Universo, ma anche in spazi a più dimensioni, impossibili da visualizzare.

La congettura viene da Henry Poincaré nel 1904 , il geniale matematico francese, forse il più grande matematico del secolo scorso. Poincaré è stato probabilmente l’ultimo matematico in grado di abbracciare tutti i rami della matematica pura e applicata, con profondi interessi per la filosofia della matematica, la divulgazione e la psicologia della “creatività” matematica.
Nel caso specifico:
Immaginiamo di avvolgere una mela con un elastico (come disse John Milnor, medaglia Fields e grande esperto di topologia) e poi di stringere lentamente l’elastico fino a ridurlo a un punto, senza strappi e senza mai staccarlo dalla superficie della mela. Proviamo poi ad avvolgere allo stesso modo una ciambella, sempre con un elastico. In questo caso, se non rompiamo l’elastico o la ciambella, non siamo in grado di ripetere l’operazione precedente, riducendo l’elastico a punto, senza mai staccarlo dalla superficie della ciambella.

Si dice per questo che la superficie della mela è “semplicemente connessa” mentre quella della ciambella non lo è.
Poincaré, circa cent’anni fa, sapeva che una mela o più in generale una sfera comune, quella che i topologi chiamano 2-sfera, equivalente alla mela, era caratterizzata da questa proprietà della connettività semplice, anzi sapeva che la sfera era l’unica superficie chiusa per la quale fosse possibile realizzare con l’elastico, oppure con una qualsiasi curva chiusa disegnata sulla sfera, l’operazione descritta prima.
Nel passare poi allo studio delle sfere di dimensioni più elevate, le n-sfere, Poincaré pensava che valesse anche per la n-sfera questa proprietà e inoltre che la n-sfera fosse l’unica varietà chiusa a n dimensioni dotata di questa proprietà. Ma non riuscì a trovare una dimostrazione alla sua ipotesi, che rimase quindi a livello di congettura e diventò il problema più famoso della topologia, attorno al quale negli ultimi cent’anni si sono cimentati molti grandi matematici.